Основными числовыми характеристиками двумерного распределения случайных величин являются показатели их связи: для линейной регрессии - коэффициент корреляции и корреляционный момент (ковариация); для нелинейной регрессии - корреляционное отношение [2, 44, 75].
Коэффициентом корреляции r между случайными величинами х и у называется математическое ожидание произведения их нормированных отклонений:
где Мх и Му – центры распределения величин х и у, и
- их дисперсии. Коэффициент корреляции r может быть представлен в следующей форме:
Величина М(х-Мх)(у-Му) называется корреляционными моментом (ковариацией) – COV (x;y).
Коэффициент корреляции – величина безразмерная с пределами изменения - ± 1. При r =0 линейная связь полностью отсутствует. Знак r (+) или (-) указывает на характер связи (прямая или обратная).
Равенства | r | =1 означает наличие линейной функциональной зависимости между величинами х и у.
Несмещенными и состоятельными оценками математических ожиданий Х= Мх и У=Му служат эмпирические средние значения:
;
Несмещенными и состоятельными оценками дисперсии и
служат эмпирические дисперсии:
Несмещенной и состоятельной оценкой корреляционного момента служит эмпирический корреляционный момент (ковариация)
По этим оценкам определяют эмпирический коэффициент корреляции:
который дает состоятельную, но смещенную оценку теоретического коэффициента корреляции r (смещение, при n>50 составляет менее 1%).
Значимость r проверяется путем сравнения величины |r| × с его критическими значениями Н при заданной надежности r . При |r| ×
> H гипотеза о корреляционной связи подтверждается с надежностью r . Доверительные оценки r сложны и разработаны для случая нормального совместного распределения вероятностей величин X и У. Для приближенных доверительных оценок истинного значения коэффициента корреляции имеются номограммы[322]. Эмпирический коэффициент r может быть оценен оперативно графическим способом [44]. Доверительные интервалы для эмпирического коэффициента корреляции r, при малом количестве наблюдений n позволяет определить следующее преобразование, предложенное Р. Фишером:
Мариупольский торговый порт
За последние годы независимости,
наша страна приобретает, всё более заметные черты, экономически развитого члена
международного сообщества. Немаловажную роль, в развитии, играет транспортная
сфера. В связи, с резким экономическим подъёмом, ...
Добыча нефти с помощью насосов
По статистике только чуть более 13% всех
скважин в России эксплуатируются фонтанным и газлифтным способами (Хотя эти
скважины дают более 30% всей российской нефти). В целом статистика по способам
эксплуатации выглядит так:
...