Основными числовыми характеристиками двумерного распределения случайных величин являются показатели их связи: для линейной регрессии - коэффициент корреляции и корреляционный момент (ковариация); для нелинейной регрессии - корреляционное отношение [2, 44, 75].
Коэффициентом корреляции r между случайными величинами х и у называется математическое ожидание произведения их нормированных отклонений:
где Мх и Му – центры распределения величин х и у, и
- их дисперсии. Коэффициент корреляции r может быть представлен в следующей форме:
Величина М(х-Мх)(у-Му) называется корреляционными моментом (ковариацией) – COV (x;y).
Коэффициент корреляции – величина безразмерная с пределами изменения - ± 1. При r =0 линейная связь полностью отсутствует. Знак r (+) или (-) указывает на характер связи (прямая или обратная).
Равенства | r | =1 означает наличие линейной функциональной зависимости между величинами х и у.
Несмещенными и состоятельными оценками математических ожиданий Х= Мх и У=Му служат эмпирические средние значения:
;
Несмещенными и состоятельными оценками дисперсии и
служат эмпирические дисперсии:
Несмещенной и состоятельной оценкой корреляционного момента служит эмпирический корреляционный момент (ковариация)
По этим оценкам определяют эмпирический коэффициент корреляции:
который дает состоятельную, но смещенную оценку теоретического коэффициента корреляции r (смещение, при n>50 составляет менее 1%).
Значимость r проверяется путем сравнения величины |r| × с его критическими значениями Н при заданной надежности r . При |r| ×
> H гипотеза о корреляционной связи подтверждается с надежностью r . Доверительные оценки r сложны и разработаны для случая нормального совместного распределения вероятностей величин X и У. Для приближенных доверительных оценок истинного значения коэффициента корреляции имеются номограммы[322]. Эмпирический коэффициент r может быть оценен оперативно графическим способом [44]. Доверительные интервалы для эмпирического коэффициента корреляции r, при малом количестве наблюдений n позволяет определить следующее преобразование, предложенное Р. Фишером:
Экономико-географическая характеристика Центрально-черноземного экономического района. Юго-восточная железная дорога
Транспорт важнейшая сфера общественного производства. В системе единого народнохозяйственного комплекса страны транспорт занимает особое место. Он является одной из отраслей, формирующих инфраструктуру народного хозяйства. Транспорт служит ...
Картографический метод исследования
Высокий уровень развития современной картографии ведет к
постоянному расширению ее интересов. Продолжая совершенствовать методику и
технику картографирования, разрабатывая новые типы карт, картографы ставят и
решают новые проблемы. Одна та ...